Číselné rébusy


Úkoly

Výsledky:

  1.      a) 19 568 + 84 302 = 103 870 nebo
        14 558 + 89 302 = 103 870;
     b) 5 628 + 280 + 97 405
     c) 39 746 + 38 072 + 31 056 = 108 874.
  2. Všimněte si, že v prvním sloupci od U jednotek odčítáme G jednotek a dostaneme zase U jednotek. To znamená, že G = 0.
    Podívejme se na rozdíl IAZ - IOG = NZ. Protože G = 0 a číslice stovek jsou shodné, A - O = N. (1)
    Vezměme rozdíl PAU - NZ = PPA a upravme ho na součet:
    PPA + NZ = PAU. Protože číslice stovek jsou shodné, musí platit jedna z těchto dvou podmínek: 
         (a) A + Z = U;                nebo (b) A + Z = U + 10
         P + N = A;                         P + N + 1 = A;
       (součet jednotek                    (součet jednotek
        je menší než 10);                   je větší než 10.
    Sečtěme rovnici (1) s rovnicí P + N = A a dostaneme P + N - O = N. Z toho P = O, což není možné, protože různé číslice jsou vyjádřeny různými písmeny. Platí tedy soustava (b). Sečtěme rovnici (1) s rovnicí P + N + 1 = A a dostaneme: P + N + 1 = N + O . Z toho P + 1 = O. (2) Protože G = 0, vydělíme čísla NEG a IOG deseti s dostaneme: 
         NE : IO = E nebo IO * E  =  NE.

Z toho buď

     EO = E;               nebo            EO = E + 10;
     EI = N;                               EI + 1 = N.
    Platí-li první soustava, O = 1 a podle (2) P = 0; to je však nemožné, protože už víme, že G = 0. Platí tedy druhá soustava. Dosadíme do rovnice EO = E + 10 z rovnice (2) P + 1 = O a dostaneme E(P + 1) = E + 10, čili EP = 10. (3)
    Přejdeme k rovnici IITE : E = PPA. Upravíme ji takto: 
         (100P + 10P + A ) * E = 1000I + 100I + 10I + E.
Z toho 
     100PE + 10PE + AE = 1000I + 100I + 10I + E,
čili po dosazení z rovnice (3)

     1000 + 100 + AE  =  1000I + 100I + 10I + E.
Tato rovnice může platit jen pro I = 1 a AE  = 10I + E. (4)
Nyní vezmeme součet ATU + IAZ = IITE. I = 1, platí

           ATU
          +1AZ
          -----
          11TE.
    Protože víme, že A < 10 a součet desítek nemůže dát víc než 1 stovku, dostáváme A + 1 + 1 = 11.
    Z toho A = 9, takže máme 
               9TU
          +19Z
          -----
          11TE
    Případ U + Z = E není možný, protože z toho by vyplývaly absurdní rovnice: T + 9 = T nebo T + 9 = T + 10. Platí tedy U + Z = E + 10. (5)
    Další postup je lehký. Vezmeme např. rovnici ATU - NEG = PAU. Dosadíme za A jeho hodnotu a vyjádříme rovnici takto: 
               P9U
          +NEO
          -----
           9TU. 

Protože E je různé od nuly a nerovná se ani 1, platí 
     9 + E = T + 10,  čili E - T = 1; (6)
     P + N + 1 = 9,  čili P + N = 8. (7)
Porovnáváme rovnice (4) a (6) : AE  = 10T + E, 

E - T =1,

a protože A = 9, platí E = 5 a T = 4.
    Z (3) vyplývá, že P = 2. Ze (7) dostaneme N = 6, z (1) O = 3. Hodnotu písmen Z a U určíme ze soustavy rovnic (5) a z první rovnice soustavy (b): 
              U + Z = R + 10,
          A + Z = U + 10.

Protože A = 9, E = 5, platí Z = 8 a U = 7.
Výsledky sestavíme do tabulky: 

          0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,
          G I P O T E N U Z A.
    Vzniklé ruské slovo znamená přepona.
  3. Na první pohled vidíme, že součet dvou čtyřciferných čísel musí být menší než 20 000, tedy A = 1. Z úlohy dále vidíme, že E + E = E, což může platit jen pro E = 0. Z druhého sloupce sčítání vyplývá ( protože v prvním sloupci není zbytek): C + A = B => B = C + 1. Součet tedy začíná 10 (A = 1, E = 0), proto B může být jen 5.Protože B = C + 1, může být C jen 4 a potom D jen 2. Celý součet je potom 
              5 2 4 0
        + 5 2 1 0
       -----------
        1 0 4 5 0.
  4. Dvojice čísel, která splňují podmínky úlohy, je mnoho. Některé z nich: 
     42 888         56 222         27 555         45 666      
 80 568         67 234         95 901         77 790
--------       --------       --------       --------
  5. x4 + 1 = (x - 1)(x3 + x2 + x +1) + C, kde C je zbytek. Protože to musí být identita, dosadíme např x = 1. Potom 1 + 1 = 0 + C. Z toho C = 2. Tuto hodnotu pro C dostaneme, nechť je hodnota x jakákoli. Vezmeme-li např. x = 2, potom 16 + 1 = (2 - 1)(8 +4 +2 +1) + C, čili 17 = 15 + C a z toho zase C = 2. 
  6.           22 212     22 221
          33 332     33 323
          43 221     43 221
         --------   --------
          98 765     98 765

  7.           729 = 272 = 9 * 9 * 9
  8. Podmínce vyhovují jen čísla s nulami na konci: 
     1600 (402),  2500 (502),  3600 (602)  atd.
  9. S=5, A=3, G=2, O=4, N=7, F=1, E=0, L=6, I=9, C=8
    nebo
    S=5, A=4, G=2, O=3, N=7, F=1, E=0, L=8, I=9, C=6
    Tedy součet je: 
              5 324       5 423
          5 374       5 473 
         -------    --------
         10 698      10 896.
  10. Šestimístné číslo, o němž mluvíme, že začíná jedničkou můžeme psát ve tvaru (100 000 + a), kde a je pětimístné číslo. Z podmínky úlohy vím, že 3 * (100 000 + a) = 10a + 1. Z této rovnice dostaneme hodnotu pro číslo a = 42 857. Hledané číslo je tedy 142 857.
    Platí: 
    3 * 142 857 = 428 571.
  11. Vidíme, že z čísel A, B, C je nejmenší A, neboť ABC * A je trojciferné, zatímco zbývající částečné součiny jsou čtyřciferná čísla. A může být jen 1, 2 nebo 3, neboť větší číslo než 3 na místě stovek násobené čtyřmi dává již čtyřciferné číslo.
    A nemůže být 1, neboť z ABC * A by plynulo CA = A. Kdyby se A rovnalo 3, bylo by C * A = 3 , tedy C = 1, ale C musí být větší než A; tedy A = 2. Pak má 2 * C končit opět číslicí 2; je tedy C = 6. 
                  2B6 * B26
          --------
             ---6
             --2
           ---B
          --------
                6
    Z třetího řádku vidíme, že 6 * B je číslo, jež končí na B, což je možno napsat takto: 6B = 10x + B ==> B = 2x. B je tedy sudé číslo a tak B jsou buď 4, nebo 8. Kdyby B = 4, potom násobené číslo by bylo 246. B-násobek tohoto čísla (čtyřnásobek) by bylo trojciferné číslo. My potřebujeme čtyřciferné, proto B = 8. Výsledek: 
              286 * 826
      --------
         1716
         572
       2288
      --------
       236236

Úkoly
* Kurzy * Akcie * Práce * Zájezdy * Zájezdy * Meteobox * Auto *